ONDAS ESTACIONARIAS
Llamamos onda
estacionaria a un caso particular de interferencia que se
produce cuando se superponen dos ondas de la misma dirección, amplitud y
frecuencia, pero sentido contrario. En una onda estacionaria los distintos
puntos que la conforman oscilan en torno a su posición de equilibrio a medida
que transcurre el tiempo pero el patrón de la onda no se mueve, no son ondas de
propagación sino los distintos modos de vibración de una cuerda, una membrana,
etc, de ahí su nombre.
Como una
onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos ondas: una
incidente que se propaga de izquierda a derecha y la otra que resulta de
reflejarse esta en el extremo y se propaga de derecha a izquierda.
y1=A sen (kx -w t) de izquierda a derecha
y2=A sen (kx +w t) de derecha a izquierda
Si aplicamos el principio de superposición, la suma de las dos es:
y1=2A sen (kx)cos(w t)=A'cos (wt)
Observa que esta función no representa una onda que se
desplaza: cada elemento de la cuerda (dando valores fijos a x)
describe un movimiento armónico simple en la dirección vertical de amplitud A´.
A'=2A sen (kx)
Donde:
- y: Elongación del punto, es decir, la separación respecto
a su posición de equilibrio. Su unidad de medida en el S.I. es el metro
(m)
- x: Coordenada x de la posición. Su unidad de medida en es
el metro
- t: Tiempo. Su unidad de medida en el S.I. es el segundo
- A: Amplitud de las onda original (elongación máxima). Se
mide en metros
- A’: Amplitud resultante. Es la amplitud del punto
considerado, es decir, la elongación máxima con la que es capaz de vibrar.
Su unidad de medida en el S.I. es el metro
- k: Número de onda. Coincide con el de la onda
original y recuerda que se relaciona con la longitud de onda según la
expresión k=2⋅πλ.
Su unidad de medida en el S.I. es el radián por metro (rad/m) o
metro a la menos uno (m-1)
- ω: Frecuencia angular. Coincide con la de la onda
original y recuerda que se relaciona con la frecuencia ω=2⋅π⋅f
según la expresión . Su unidad de medida en el S.I. es el radián por
segundo (rad/s)
Hay
que notar que:
Los puntos que pueden alcanzar un máximo de amplitud
igual a "2A" sólo pueden hacerlo cada cierto tiempo, cuando
cos(
w t) sea igual a 1.
La amplitud puede alcanzar distintos valores según
la posición, x, del punto. Algunos puntos tendrán amplitud cero y no
vibrarán nunca (puntos estacionarios): son los llamados
nodos.
Los
nodos
a los puntos
x que tienen una amplitud mínima,
2A sen(kx)=0,
por lo que
kx=np siendo
n
=1, 2, 3, ....(recuerda que k=2
p/l),
o bien,
x =
l/2,
l, 3
l/2, ... La distancia entre dos nodos
consecutivos es media longitud de onda,
l/2.
Supongamos ahora una cuerda de longitud
L fija en los extremos. La
cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una
frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente.
Se producirán nodos para una cuerda de longitud "L" cuando la
l de la onda tenga los valores dados por la
fórmula:
Como la frecuencia y la longitud de onda están relacionadas con la velocidad
de propagación, para hallar las frecuencias que puede tener la onda empleamos
la relación
l =vT, o
bien
l =v/u.
Para los
antinodos
o
vientres recuerda que k estaba definida como k = 2π/λ, por ello es sencillo
encontrar la posición de los nodos como relación entre la posición y la
longitud de la onda estacionaria:
x = 0, λ/2, λ, 3λ/2,...
que escrito de forma general indica que los nodos se encuentran situados en las posiciones
, por lo que la distancia entre dos nodos consecutivos será siempre media longitud de onda (
).
Análogamente puede encontrarse la expresión para los vientres, que resultan encontrarse en las posiciones
Tanto los nodos como los antinodos consecutivos están separados una
distancia igual a media longitud de onda.
Para ampliar más:
