Rectas tangentes

Esta entrada se la dedico a Victor, que durante su clase contribuyó a un esquema que nos facilita aquí para uso de todos.

Para poder hacer ejercicios de rectas tangentes hay que recordar que la primera derivada aplicada en un punto, la pendiente y el cociente calculado como una tasa de variación son en realidad varias formas de decir o calcular lo mismo y por lo tanto sus valores deberán coincidir.

 La recta tangente se puede calcular usando la ecuación punto pendiente

Y-yo= m(x-xo) donde

Yo es el valor de la función en el punto

M la pendiente

Xo es la ordenada en el origen

 Hay cuatro tipos de problemas según lo que me den en el problema, luego podemos introducir variaciones de esto.

A) Me dan una función. Y un valor de x sobre el cual calcularlo:

Valor de la función en el punto f(xo): sustituir el valor de x que nos dan en la función dada

Calculo de la pendiente: hago la primera de derivada de la función y sustituyó el valor de x que nos dan en el problema. El valor obtenido es m

Valor de xo, el que nos dan en el problema.

B) Me dan lo mismo que en A pero la función depende de x e y, con lo que la derivada será implícita.

Derivo implícitamente, depejo y’ y sustituyo el punto, esto es pendiente de la recta tangente. El resto se hace igual.

C) Me dan una función y una recta paralela a ella

A partir de la recta paralela sacamos la pendiente (recordar que y=mx+N)

La pendiente debe ser igual si la calculo a partir de la recta que a partir de la derivada. Igualando la derivada a la pendiente obtengo los valores de xo que iba buscando.

Teniendo el xo -calculo la función en el punto

D) Nos dan un punto exterior y una función unos piden la tangente. Derivamos la función y sustituimos en la función y su derivada x por a obteniendo expresiones en función de a. La pendiente de la recta tiene que ser igual a la derivada en el punto (f'(a)) y al cociente incremental F(xo)-fa)/ xo-a. De aquí despejamos el valor de a y sustituimos en la función y la derivada para sacar la recta tangente.